Ciąg Fibonacciego – klucz do wszechświata?

Choć dla wielu matematyka wydaje się być porównywalną do czarnej magii, to jednak powszechnie traktuje się ją jako królową nauk. Mnogość ciągów i układów niejednego może powalić na deski czy przyprawić o ból głowy. Niemniej jednak, tak obszerna dziedzina nauki jak matematyka obfituje w liczne ciekawostki i niesamowite teorie, potrafiące skutecznie pobudzić wyobraźnię czytelnika. Dokładnie tak rysuje się obraz zadziwiającego ciągu Fibonacciego.

Leonardo z Pizy, zwany potocznie Fibonaccim (to jest syn Bonacciego), trwale zapisał się w historii nauk dzięki swym licznym osiągnięciom na polach matematyki, przez co wpłynął na życie ogółu ludzkiego, a przynajmniej na życie jego większości. To w końcu dzięki jego staraniom upowszechnił się system dziesiętny, propagujący używanie cyfr arabskich, wypierając w dużej mierze nieporęczne cyfry rzymskie. O tym jakie to ma znaczenie może przekonać się każdy, kto podejmie się próby rozwiązania zadania matematycznego, szczególnie na dużych liczbach, wykorzystując oba systemy. Mimo, iż ten drugi nadal jest przez niektórych stosowany, to zdecydowanie ten pierwszy z nich stoi na piedestale. To osiągnięcie nie wpłynęło jednak na tak wyraźne zapisanie postaci Fibonacciego na kartach historii odkrycie, które dopiero długo po jego śmierci przypomniało o jego osobie. Mowa o tytułowym ciągu Fibonacciego.

 

Historia i dokonania

 

Fibonacci już w okresie dzieciństwa miał spory kontakt z systemami liczbowymi, także tymi wychodzącymi poza swój krąg cywilizacyjny, a to z powodu arabskiego nauczyciela. Gdy dorósł zaczął podróżować po świecie, zwiedzając duży obszar basenu Morza Śródziemnego. Przy okazji swych podróży stykał się z matematyczną wiedzą wschodu, którą to postanowił podzielić się z Europą, przeżywającą wtedy duży zastój na tym polu. Gdy powrócił do rodzinnego miasta nikt nie podejrzewał jak bardzo zrewolucjonizuje on stary kontynent swoimi nowymi odkryciami.

W owym czasie największą aprobatą cieszył się system zapisu opracowany przez Rzymian, będący systemem jak najbardziej poprawnym matematycznie. Nie należał on jednak do najprostszych i daleko mu było do wygody użytkowej. Ludzie ówcześni, nieposiadający zbyt rozległej wiedzy, mogli mieć problem z odczytywaniem jego wartości i wykonywaniem zadań. Można się jedynie domyślać, jak musiało utrudniać to chociażby handel. Poza tym system rzymski ma poważne niedociągnięcie, które odbija się w problemach przy potrzebie przedstawienia lub pracowania na wyższych liczbach, gdyż znaki graficzne przedstawiające wartości liczbowe kończą się na 1000. Liczby wyższe zatem muszą być przedstawiane jako sumy wielu tysięcy.

Po powrocie wziął się za pisanie, tworząc „Liber Abaci” zwaną także „Księgą rachunków”. W niej to przedstawił między innymi cyfry arabskie i system dziesiętny, których użycie szybko zaczął propagować. Jak dowodzi historia czynił to z dobrym skutkiem. Dzięki niemu Europejczycy dowiedzieli się też o istnieniu liczb ujemnych czy równań liniowych i kwadratowych. Oprócz tego dzieło zaznajamia nas po raz pierwszy z tzw. ciągiem Fibonacciego, prezentując go w formie zagadki:

 

Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku, jeśli
– każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca
– para staje się płodna po miesiącu,
– króliki nie zdychają?[i]

 

Sens tej zagadki jak i jej rozwiązanie zostanie rozwinięte w kolejnym podrozdziale tego artykułu. Na ten czas wróćmy do samej postaci Fibonacciego i jego osiągnięć.

 

Nie mniej ważne było także jego inne dzieło pod tytułem „Practica geometriae”, gdzie połączył ze sobą algebrę i geometrię. Po tym nie osiadł jednak na laurach i dalej prowadził badania nad cyframi, przy okazji ulepszając to, co jego zdaniem było błędne w systemie dziesiętnym. Wszystkie te jego poczynania przyczyniły się silnie do ponownego zaistnienia matematyki europejskiej, chociaż ta nadal zostawała w cieniu mogącej się poszczycić doskonalszymi osiągnięciami matematyki arabskiej.

 

Czym jest ciąg Fibonacciego?

 

Większości osobom Fibonacci kojarzy się w pierwszej kolejności z konkretnym ciągiem matematycznym, nazwanym ku jego czci ciągiem Fibonacciego. Jest to ciąg liczb naturalnych, opisanych dość skomplikowanym dla niesprawnego oka wzorem, który zostaje podany poniżej:

 

Fn = Fn-1 + Fn-2

 

Liczba kolejnego wyrazu ciągu (n pisane na dole wyrażenia F) musi być liczbą naturalną, czyli taką, która nie jest ułamkiem i jest większa lub równa 0. Kolejnym warunkiem jest to, by ta liczba była większa niż 1. Gdy ten ostatni nie zostaje spełniony przypadek uznajemy za wyjątkowy, gdyż nie wymaga on obliczeń a wartości mamy od razu podane:

 

F0 = 0

F1 = 1

 

Na ten moment owy matematyczny problem może wydawać się odległy i niezrozumiały, jednak funkcjonowanie danego ciągu można wyjaśnić za pomocą wyżej już wspomnianej zagadki z rozmnażaniem się królików.

Przytaczając ponownie, jej założenia są następujące: mamy jedną parę, która rodzi po 2 króliki (samca i samicę) miesięcznie. Nowo narodzona para sama dopiero po miesiącu jest zdolna do rozmnożenia się i po tym czasie pojawia się kolejna para. Weźmy pod uwagę fakt, że w pierwszym miesiącu jedna para urodzi dwa króliki, a w drugim 2 pary urodzą po 2 króliki, co da nam razem już 4. Proces ten zachodzi w kółko, kolejnych par powstaje coraz więcej, a wedle założeń owej zagadki wszystkie króliki żyją wiecznie. Postawione w niej pytanie brzmi: Ile par królików łącznie może w ciągu roku czasu narodzić się począwszy od pierwszej pary startowej? Podaje więc ona konkretne zadanie matematyczne, które można rozwiązać właśnie dzięki ciągowi Fibonacciego. Choć daleko temu przykładowi do rzeczywistej realności, to świetnie obrazuje on działanie omawianego ciągu.

Dodatkowo ciąg ten można śmiało potraktować jako jeden z pierwszych przypadków w której kolejny wyraz ciągu możemy uzyskać wyłącznie z wykorzystaniem dwóch poprzednich, czyli dokładnie tak jak jest to zapisane we wzorze na ciąg Fibonacciego ((Fn = Fn-1 + Fn-2). Nie ma innej możliwości pozyskania kolejnego wyniku niż przez wykorzystanie wyników poprzednich.[ii] Funkcję rekurencyjną można także inaczej nazwać funkcją, która sama siebie powiela: samoreplikującą. Jest ona w pewien sposób zapętlona. Na próżno szukać więc końca takiego ciągu, gdyż prawdopodobnie takowy nie istnieje.

To, co warto zapamiętać by zrozumieć dalszy ciąg artykułu to wartości wartości pierwszych 5 wyrazów ciągu, których wyniki obliczeń podajemy poniżej:

 

F1 = 1

F2 = 1

F3 = 2

F4 = 3

F5 = 5

 

Oczywiście wartości te można wyliczyć samemu, jednak dla ułatwienia podajemy gotowe rozwiązanie.

Znaczenie w naturze

Gdyby wszystko to zamykało się w samej teorii i nie miało zastosowania w rzeczywistości, większość osób zapewne nie zwracałaby znacznej uwagi na ów ciąg, gdyż sam mógłby wydawać się nieco nudnym, tym bardziej że ciężko znaleźć mu jakieś konkretne, praktyczne zastosowanie. Okazuje się jednak, że w jakiś sposób natura może wykorzystywać i przejawiać ciąg Fibonacciego. Wynika to z tego faktu, że ciąg pasuje lub jest przynajmniej bardzo podobny do złotego podziału, którego definicję można odwzorować na prostym przykładzie podziału odcinka. Tak więc, złoty podział jednego odcinka na dwa odcinki to taki podział, w którym stosunek długości krótszego z nich do długości dłuższego jest równy stosunkowi długości dłuższego odcinka do odcinka poddawanego podziałowi.[iii]

 

zasada złotego podziału

Można to zapisać w prostej matematycznej formie: b/a = a/(a+b)

Zapewne nie mamy do czynienia z dokładnymi liczbami, ale na tyle bliskimi, że powinno się zwrócić uwagę na to podobieństwo.

Co do przejawiania się ciągu Fibonacciego w naturze, jest to zjawisko dość obszerne i rozległe bowiem dotyka zarówno flory roślinnej jak i środowisk zwierzęcych. Mogłoby nawet wydawać się, że stanowi pewien trwały wzorzec, który natura zwykła często użytkować w swoich kreacjach. Tak więc dostarcza nam ona wielu fascynujących przykładów. Weźmy pod lupę środowisko pszczół miodnych, szczególnie męskich samców. Istnieje bowiem zasadnicza różnica jeśli chodzi o poczęcie osobników męskich i żeńskich. Aby mogły narodzić się żeńskie robotnice, królowa musi spółkować z trutniami. Te jednak z kolei przychodzą na świat z jaj nie zapłodnionych. Tak więc każda samica ma zawsze dwoje rodzicieli a każdy samiec tylko jedną rodzicielkę. I tak ciąg Fibonacciego przejawia się w drzewie genealogicznym samców. Dokładniej, jeden truteń ma jednego rodzica oraz dwójkę „dziadków”, następnie trójkę „pradziadków” oraz piątkę „prapradziadków”: 1,1,2,3,5 itd. to właśnie ciąg Fibonacciego.[iv]

Nawet domena piękna skorzystała z tego niesamowitego podziału powołując do życia kwiaty w określonej o konkretny wzorzec formie. Kwiaty krwawnika kichawca wykorzystują ów wzór w specyficzny sposób, gdyż opiera się o niego rozrost gałązek tego kwiatka. Na jednej gałązce, idąc w górę wyrasta najpierw kolejna gałązka, następnie są to już trzy gałązki a jeszcze wyżej rozwidla się na pięć (ponownie wzór 1,1,2,3,5…). Ten sam wzorzec używany jest także w częściach często będącymi jedynie kilkoma numerami lub pojedynczymi cyframi z ciągu. Przykładowo przecinając banana wszerz zaobserwujemy trzy wyróżniające się sekcje. Poczyńmy identycznie z jabłkiem a będzie ich już pięć. Lilia i irys posiadają jedynie trzy płatki. Z kolei dzika róża ma ich pięć a złocień polny ma ich trzynaście. Istnieją nawet kwiaty o 55 czy też nawet 89 płatkach. To także elementy ciągu Fibonacciego.[v]

Co ciekawe, może on także zachowywać się jak skala proporcji, a w tej formie zaobserwujemy ją w budowie np. muszli niektórych mięczaków takich jak chociażby ślimak. Większość spiralnych galaktyk wpasowuje się w podobny wzorzec, tak samo jak i budowa DNA. Wielu artystów miało tworzyć w zgodzie ze złotym podziałem, czy też ciągiem Fibonacciego, choćby Leonardo da Vinci. Bez większych problemów można zaobserwować to na wielu jego dziełach. Wystarczy zaznajomić się nieco z wiedzą matematyczną na temat ciągu i bacznie obserwować. Nowszym przykładem wykorzystania wzorca przez człowieka jest zespół TOOL ze swoją piosenką „Lateralus”, gdzie kolejne kolejne wersy zwrotki ułożone są wg. Wzorca 1,1,2,3,5,8… To znaczy, że pierwszy wers oraz drugi zawierają po jednej sylabie, trzeci zawiera dwie, czwarty trzy sylaby, piąty pięć i tak dalej.

Doszło w końcu do tego, że i na giełdzie zaczęły być stosowane zasady oparte o ciąg Fibonacciego, które ponoć mają odkrywać działanie rynków finansowych i dawać wskazówki co do dalszych w czasie wyników. Wszystko to ma wskazywać na fakt iż natura jest ściśle uporządkowana, dzięki czemu można ją w pewien sposób przewidywać. Niektórzy sądzą, że to dowód działanie siły wyższej, oponenci zaś mówią o schemacie którym kieruje się natura. Patrząc się na przykłady można łatwo dać wiarę w mistyczną otoczkę ciągu Fibonacciego.

 

Klucz do wszechświata?

 

Sporo otaczających nas elementów rzeczywistości opiera się na tej zasadzie. Nie można odmówić częstego powtarzania się w naturze konkretnego wzorca uchwyconego przez ciąg Fibonacciego. Wiele budowli i dzieł powstało w oparciu o ten szablon, chociażby sam ateński Partenon.

Nie wszystkie jednak kwiaty i rośliny układają się budową podług wzoru, podobnie jak muszle innych gatunków istot, w tym dużej liczby ślimaków.[vi] Nie wszystkie też galaktyki są spiralne co dowodzi, że przejawianie się ciągu Fibonacciego w naturze nie jest żadnym zjawiskiem stałym ,a jedynie bardzo często powtarzającym się.

 

Osoby które wykorzystują metodę ciągu do spraw giełdowych najpewniej nie zdają sobie sprawy z tego co robią. Jest to podejście równie dobre co każde inne i w żaden sposób wyjątkowe. Czynników wpływających na obrót finansami jest tak wiele, że o ile w przypadku jednej osoby taki system mógłby się sprawdzić, to w przypadku drugiej już niekoniecznie musi. Błędnie więc ucieka się ona do boskiego podziału czy ciągu Fibonacciego, znacznie rozdmuchując i nadinterpretując ich znaczenia, marnując przy tym swoje pieniądze.[vii] Gdyby rzeczywiście, tak jak w naturze, sposób oparty o ciąg sprawdzał się na rynkach finansowych, można być pewnym, że prędzej czy później najwięksi gracze zadbali by o to, by tylko oni mogli z niego korzystać.

 

Jak więc z tym jest? To zapewne jeden z ciekawszych i fundamentalnych ciągów w matematyce, nie ma tu żadnych wątpliwości. Nie należy jednak doszukiwać się w nim projekcji swoich oczekiwań, odnośnie odkrycia najważniejszej tajemnicy wszechświata. A już na pewno nie warunkować pamięci o osobie Leonarda z Pizy tylko z tego powodu, gdyż jest to znaczne umniejszanie jego odkryciom i dokonaniom. Mowa w końcu o osobie, której zawdzięczamy zmianę systemu liczbowego, która znacząco wpłynęła na rzeczywistość jaka nas otacza.


Przypisy:

[i] M. Kordos: Wykłady z historii matematyki, Warszawa 1994, s. 112.

[ii] Tamże.

[iii] A. Gębura: Matematyka, fizyka i astronomia, Warszawa 2004, s. 78.

[iv] P. Dowdy: Nature Math, Mumbai 2009, s. 6.

[v] Tamże, s. 8-10.

[vi] G. Meisner: Golden Ratio Myth, Fact and Misunderstanding: The missing evidence, dostępne w: link

[vii] P. Perka: Zabobony na parkiecie, dostępne w: link

Zespół pasjonatów nieszablonowego myślenia oraz postępu intelektualnego, posiadający wieloletnie doświadczenie w obserwacji oraz analizie otaczającej rzeczywistości. Promotorzy kultury oraz doskonalenia się we wszystkich dziedzinach wiedzy. Wprawni badacze literatury ezoteryczno-okultystycznej oraz naukowej. Śmiali filozofowie czasów współczesnych, niestrudzeni w poszukiwaniu prawdy.

Leave a comment



Etanol

8 miesięcy ago

“M. Kordos: Wykłady z historii matematyki” – Ta książka będzie mi się jeszcze długo śnić po nocach… Widzę, że Okult.pl rozwija się również w ścisłe strony nauki.

Artykuły:

Krakowski Stańczyk przedstawia:


Website Security Test

Blogi

  • Krakowski Stańczyk

    Hucpa, swawola i łajdactwo w jednym.

  • Nowy blog wkrótce

    Będzie zielono, ciekawie i... ładnie ;)

Copyright 2017 © All Rights Reserved Okult.pl     Designed by Okult.pl